Der Barwert einer regelmäßigen Auszahlung

Dieser Artikel ist als "technischer Anhang" zu anderen Artikeln zu sehen, in denen ich den Begriff des Barwerts verwende. Er ist an Leser gerichtet, die an den mathematischen Details interessiert sind, und daher schrecke ich hier nicht vor Formeln zurück.

Die Problemstellung

Stell dir vor du bekommst eine konstante Auszahlung eines Betrages \(C\) (z.B. 1.000 EUR) für eine Anzahl von Jahren \(n\) (z.B. 30 Jahre). So eine konstante regelmäßige Zahlung wird Annuität genannt. Was wäre der Wert dieser regelmäßigen Auszahlung aus heutiger Sicht? Oder was wäre der angemessene Preis, den zu zahlen müsstest, um diese Auszahlung zu erhalten?

Die Auszahlungen sollen hier immer zu Beginn des Jahres erfolgen, denn sie sind als Einkommen vorgesehen, um anfallende Ausgaben zu decken. Damit ist zumindest der Wert der ersten Zahlung klar, denn 1.000 EUR sind heute gerade 1.000 EUR wert. Die 1.000 EUR, die jedoch erst in einem Jahr gezahlt werden, sind heute etwas weniger Wert. Dazu müssen wir einen Zinssatz \(r\) annehmen, sagen wir zum Beispiel 2% pro Jahr. Um in einem Jahr 1.000 EUR zu haben, müsstest du bei einem Zinssatz von 2% nur \(1.000/(1+2/100)=980,39 EUR\) investieren. Somit können wir den Wert der zweiten Zahlung auf diese Art ermitteln. Als Formel geschrieben wäre dies \(\frac{C}{1+r}\).

Um den Wert der Auszahlung am Anfang des dritten Jahres zu ermitteln, gehen wir ähnlich vor. Wir müssten heute 961,17 EUR bei 2% Zinsen (mit Zinseszins) investieren, um die 1.000 EUR zu beginn des dritten Jahres zu erhalten. Es ist nämlich

\[961,17\times (1 + 2/100)^2 = 1.000 \]

Das ist einfache Prozentrechnung. Als Formel wäre der Wert der dritten Auszahlung

\[\frac{C}{(1+r)^{2}}\]

Wir können dies für die Auszahlung zu Beginn des Jahres \(k\) verallgemeinern:

\[\frac{C}{(1+r)^{k-1}}\]

Nun müssen wir dies für die Werte von \(k=1,\ldots,n\) summieren:

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{C}{(1+r)^{k-1}}\]

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir die Formel der geometrischen Summe

\[ \sum_{k=0}^{n} q^ {k} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

verwenden. Dabei ist \(q=\frac{1}{1+r}\). (Wir klammern \(C\) aus). Außerdem müssen wir beachten, dass wir in unserer Formel mit \(k=1\) starten und somit den Index zunächst verschieben.

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{C}{(1+r)^{k-1}} =C\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(1+r)^{k}}=C\frac{1-(\frac{1}{1+r})^{n}}{1-\frac{1}{1+r}}\]

Den letzen Ausdruck können wir noch etwas umformen:

\[\frac{1-(\frac{1}{1+r})^{n}}{1-\frac{1}{1+r}}=\frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)^{n}(1+r-1)}(1+r)=\frac{(1+r)^n - 1}{(1+r)^{n-1}\times r}\]

Also erhalten wir für den Barwert der konstanten Auszahlungen \(C\) zu Beginn eines jeden Jahres über \(n\) Jahre bei einem konstanten Zinssatz \(r\) die folgende Formel für den Barwert

\[Barwert = C\times\frac{(1+r)^n - 1}{(1+r)^{n-1}\times r}\]

Die Allianz nennt diese Formel Rentenbarwertformel.

Hier noch ein Beispiel für eine jährliche Auszahlung von 1.000 EUR über 50 Jahre bei einem Zinssatz von 2%.

Der Barwert von 4.807,73 EUR ergibt sich auch direkt über die oben angegebene Formel.

\[1.000\times\frac{(1+0,02)^{5}-1}{(1+0,02)^{4}\times 0,02}=4.807,73\]

Du müsstest also den Betrag von 4.807,73 EUR heute zu einem Zinssatz von 2% (mit Zinseszins) investieren, um dir jedes Jahr 1.000 EUR davon auszahlen zu können.

Wenn die Zahlung nicht zu Jahresbeginn sondern am Ende eines jeden Jahres erfolgt, dann ändert sich die Formel leicht. Wenn dies in einem anderen Artikel benötigt wird, dann leite ich dies auch noch her. Ansonsten bleibt die Herleitung zur Übung den Lesenden überlassen 😁.